全等模型半角旋转45°

已有关系

半角旋转模型：45° 让旋转后的图形对上

第一部分：证明 MN = BM + DN

把 △ABM 绕 A 旋转 90° 到 △ADM′，得到 BM=DM′。又因为 ∠MAM′=90°，∠MAN=45°，所以 ∠MAN=∠NAM′。由 SAS 得 △AMN≌△AM′N，于是 MN=M′N=DM′+DN=BM+DN。

第二部分：证明 BG² + HD² = GH²

把 △ABG 绕 A 旋转 90° 到 △ADG′，得到 BG=DG′。再由 △AGH≌△AG′H 得 GH=G′H。因为 DG′ 垂直于 BD，而 H、D 在 BD 上，所以在直角三角形 DG′H 中用勾股定理即可得到 BG²+HD²=GH²。

第三部分：AE 等长与角平分

由前面的旋转关系可知 △AMN≌△AM′N。它们面积相等，对应底边 MN 与 M′N 相等，所以从 A 到两条底边的高也相等。A 到 MN 的高是 AE，A 到 M′N 的高是 AD，因此 AE=AD。再结合正方形四边相等，得到 AE=AB=BC=CD=DA。之后用直角三角形全等推出 MA、NA 分别平分对应的两个角。