等腰直角三角形半角模型

全等模型等腰直角半角 45°

已有关系

等腰直角三角形半角模型：旋转后用勾股收束

1. 已知条件

△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，AB = AC。D、E 在 BC 上，且 ∠DAE = 45°。

2. 旋转辅助

将 △ABD 绕点 A 旋转 90°，使 AB 转到 AC，得到 △ACF。于是 BD = CF，AD = AF，并且 ∠ACF = ∠ABC = 45°。

3. 先证明 EF = DE

由 ∠BAC = 90°、∠DAE = 45°，可得 ∠BAD + ∠CAE = 45°。旋转后 ∠CAF = ∠BAD，所以 ∠FAE = ∠CAF + ∠CAE = 45° = ∠DAE。

又 AF = AD，AE = AE，因此 △AEF ≌ △AED（SAS），所以 EF = DE。

4. 再用勾股定理和等量代换

连接 EF。因为 E、C、B 共线，∠ACB = 45°，又 ∠ACF = 45°，所以 ∠ECF = 90°。在 Rt△ECF 中，EF² = CE² + CF²。

由旋转得 CF = BD，由全等得 EF = DE，代入上式，得到 DE² = CE² + BD²。