几何模型等边三角形120° 半角

已有关系

等边三角形 120° 半角模型

△ABC 是等边三角形，D 在 BC 外，BD = CD，∠BDC = 120°；E 在 AB 上，F 在 AC 上，∠EDF = 60°。

证明 EF = BE + CF，并推出两组角平分

固定条件△ABC 是等边三角形

外侧条件BD = CD，∠BDC = 120°

半角条件∠EDF = 60°

证明工具延长线 + 两次全等

拖动 E，F 会自动在 AC 上调整，使 ∠EDF 始终保持 60°。

目标：EF = BE + CF

目标是证明 EF = BE + CF。为了把 BE 搬到 AC 的延长线上，延长 AC 到 G，使 CG = BE。这样就把线段和转化为证明 EF = FG。

因为 △ABC 是等边三角形，且 △BDC 是顶角 120° 的等腰三角形，所以 ∠DBE = ∠DCG = 90°。再结合 BD = CD、BE = CG，可证 △BDE≌△CDG。

第一次全等得到 DE = DG、∠BDE = ∠CDG。又 ∠EDF = 60°，可推出 ∠GDF = 60°，于是 △DEF≌△DGF。最终得到 EF = FG = CG + CF = BE + CF。

第二次全等还给出对应角相等，从而得到 ∠DEB = ∠DEF，∠DFC = ∠DFE。这正是半角模型里常见的角平分现象。

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